Archimede è
famoso – addirittura a livello popolare – per avere formulato la “legge della
leva”. Può essere interessante leggere direttamente da un suo scritto la
dimostrazione della legge che sta alla base del funzionamento della leva, e
vedere come il procedimento sia rigorosamente ed esclusivamente matematico, con
numerosi ed espliciti riferimenti agli Elementi di Euclide.
Archimede, Sull’equilibrio dei piani, libro I, proposizione 6
1 Le grandezze commensurabili sono in
equilibrio se sospese a distanze inversamente proporzionali ai pesi.
2 Siano A e B grandezze commensurabili, i
centri [di gravità] delle quali siano A, B; e sia ED una lunghezza qualunque, e si abbia la
proporzione A : B = CD : CE. Si deve dimostrare che il punto C è il centro di
gravità della grandezza composta delle A, B.
3 Poiché A : B = CD : CE ed A è
commensurabile con B, dunque CD è commensurabile con CE (Euclide, X,
11), cioè la retta con la retta, cosicché esiste una misura comune di CE, CD.
Sia essa N, e si ponga uguale a CE ciascuna delle rette DG, DK, ed uguale alla
DC la EL. E poiché DG è uguale a CE, anche la DC è uguale ad EG, cosicché anche
la EL è uguale ad EG. Dunque la LG è doppia della CD, mentre la GK è doppia
della CE, cosicché la N misura ciascuna delle LG, GK, dal momento che misura le
loro metà. E poiché A : B = CD : CE e inoltre CD : CE = LG : GK (ciascuna delle
LG, GK è infatti doppia di ciascuna delle CD, CE), si avrà dunque A : B = LG :
GK (Euclide, V, 11).
4 Quante volte la LG contiene N, altrettante
volte A contenga F; dunque: LG : N = A : F. Ma si ha pure: GK : LG = B : A,
quindi ex aequo si ha: GK : N = B : F (Euclide, V, 22). Quindi quante
volte GK contiene N, altrettante volte B contiene F. Ma si è determinato F in
modo che A sia un suo multiplo, cosicché F è misura comune di A e di B. Quindi,
divisa LG in parti uguali a N, e divisa A in parti uguali a F, le parti LG
uguali ad N saranno in ugual numero delle parti di A uguali a F. Cosicché se su
ciascuna delle parti di LG si pone una grandezza uguale ad F avente il centro
di gravità nel punto medio della parte, l’insieme di tutte [le grandezze] è
uguale alla A, e il centro di gravità della grandezza composta dall’insieme di
tutte le grandezze sarà E (I, 5, coroll. II) poiché infatti tutte le grandezze
sono in numero pari e quelle poste da ciascuna parte di E sono in numero
uguale, dal momento che LE = GE.
5 Similmente si dimostrerà che se su
ciascuna delle parti in cui è divisa KG si pone una grandezza uguale a F avente
il centro di gravità nel punto di mezzo della parte, tutte le grandezze uguali
[prese insieme] saranno uguali a B, e il centro di gravità di tutte le
grandezze [prese insieme] sarà D. Dunque la grandezza di A risulta posta in E,
e la grandezza B in D. Ma grandezze uguali tra loro, poste su una retta, e i
centri di gravità delle quali distano ugualmente l’uno dall’altro, saranno in
numero pari: è manifesto quindi che il centro di gravità della grandezza
composta dall’insieme di tutte sarà il punto di mezzo della retta contenente i
centri delle grandezze di mezzo (I, 5, coroll. II). E poiché LE è uguale a CD,
e CE è uguale a DK, sarà pure la [somma] LC uguale alla somma CK, cosicché il
centro di gravità dell’insieme di tutte le grandezze sarà il punto C. Dunque la
grandezza A posta in E, la B posta in D, sospese nel punto C, si faranno
equilibrio.
(Archimede, Opere, UTET, Torino, 1974, pagg. 403-406)