In questa
lettura il grande matematico tedesco David Hilbert (1862-1943) rileva con
soddisfazione che il lungo lavoro degli specialisti ha portato alla
dimostrazione che gli assiomi dell’aritmetica, a cui si rifanno quelli della
geometria e delle teorie fisiche, sono coerenti. Cosí la matematica è diventata
un tribunale per le questioni fondamentali.
D. Hilbert, Sull’infinito
È altresí una piacevole sorpresa scoprire che, nello stesso tempo, si è risolto un problema che ha tormentato a lungo i matematici, cioè quello di dimostrare la coerenza degli assiomi dell’aritmetica. Quando infatti si adopera il metodo assiomatico, si presenta il problema di dare una dimostrazione di coerenza. Certo nella scelta, nella comprensione e nell’uso degli assiomi e delle regole non ci si può fondare sulla buona fede o sulla semplice fiducia. Nel caso della geometria e delle teorie fisiche le dimostrazioni di coerenza vengono effettuate riducendo la loro coerenza a quella degli assiomi dell’aritmetica. Tale metodo ovviamente non può essere adoperato nel caso dell’aritmetica. Poiché la nostra teoria della dimostrazione, in base al metodo degli elementi ideali, consente di compiere quest’ultimo importante passo, essa costituisce la necessaria chiave di volta dell’edificio teorico dell’assiomatica. Ciò che è già stato sperimentato per due volte, la prima con i paradossi del calcolo infinitesimale e la seconda con quelli della teoria degli insiemi, non potrà verificarsi una terza volta né mai piú.
La teoria della dimostrazione qui schizzata non solo può rendere sicuri i fondamenti della matematica ma, a mio parere, fornisce anche un metodo generale per trattare questioni fondamentali, che rientrano nell’ambito del pensiero matematico ma che finora non si era riusciti ad affrontare.
In un certo senso la matematica è diventata un tribunale, una corte suprema innanzi a cui portare questioni fondamentali, su una base concreta su cui tutti possono essere d’accordo e che permette di controllare ogni asserzione.
Anche le asserzioni del cosiddetto nuovo ‘intuizionismo’ (per quanto modeste), a mio parere, devono ottenere anzitutto un attestato di validità da questo tribunale.
Un esempio delle questioni fondamentali che si possono trattare in tal modo è fornito dalla tesi secondo cui ogni problema matematico è suscettibile di soluzione. Di ciò siamo tutti convinti. Infatti uno dei principali motivi che ci inducono ad affrontare un problema matematico è che sentiamo sempre dentro di noi la voce: ecco un problema, trova la soluzione. Per trovarla basta pensare: non esistono ignorabimus in matematica. Ora la mia teoria della dimostrazione non può fornire un metodo generale per risolvere qualsiasi problema matematico, e del resto un metodo del genere non esiste. Tuttavia rientra interamente nel suo ambito il compito di mostrare che l’ipotesi che ogni problema matematico è suscettibile di soluzione è un’ipotesi coerente.
Grande Antologia Filosofica, Marzorati, Milano, 1978, vol. XXXI, pag. 431