Una tradizione tardo - antica ci tramanda che all' ingresso dell' Accademia platonica c' era scritto : " Non entri chi non é geometra " . Se questo sia un' invenzione letteraria o se corrisponda alla verità , noi non lo sappiamo . E' comunque certo che il motto rispecchia perfettamente il pensiero platonico ; anzi , lo rispecchia talmente bene che , appunto per questo , mancando testimonianze antiche , si sospetta che sia una bella e ingegnosa finzione letteraria . Plutarco ci tramanda , inoltre , il detto di Platone secondo cui " dio sempre geometrizza " , che rispecchia perfettamente l' attività creatrice del Demiurgo , che cala i modelli intellegibili nella materia sensibile mediante le figure geometriche e i numeri , e corrisponde bene all' epigrafe che sarebbe stata scritta sul portone dell' Accademia . In effetti , la matematica ha in Platone un' enorme importanza , ed é la via d' accesso alla dialettica , in quanto il numero gioca un ruolo essenziale anche nel mondo ideale . Al vertice della scala gerarchica del mondo ideale per Platone stanno proprio i Numeri ideali , che vanno ben distinti dai numeri matematici . I Numeri ideali sono le essenze stesse dei numeri ( il numero ideale tre é l' essenza del tre , e così di seguito ) . In quanto tali , essi sono sottoponibili ad operazioni aritmetiche . Il loro status metafisico é ben differente da quello aritmetico , appunto perchè non rappresentano semplicemente numeri , ma l' essenza stessa dei numeri . In effetti , non avrebbe senso sommare l' essenza del due all' essenza del tre e così via . I Numeri ideali , quindi , costituiscono i supremi modelli dei numeri matematici . Inoltre , per Platone i Numeri Ideali sono i primi derivati dai Principi primi , per il motivo che essi rappresentano , in forma originaria e quindi paradigmatica , quella struttura sintetica dell' unità nella molteplicità , che caratterizza anche tutti gli altri piani del reale a tutti gli altri livelli . Inoltre , Platone stabilisce una stretta connessione fra le successive idee e i numeri , ma non opera una identificazione ontologica totale . Sarebbe errato ritenere che Platone identificasse ciascuna idea con un numero specifico . In particolare , per essere capita , questa dottrina non scritta che ha forti influssi sugli ultimi dialoghi , va connessa con la concezione che i Greci avevano del numero . Per il Greco il numero era pensato , più che come intero , come un rapporto ben articolato di grandezze e di frazioni di grandezze , di " logoi " e " analoghiai " , ossia come relazioni e rapporti . Per il Greco , dunque , tradurre i " logoi " e le relazioni in numeri era cosa ovvia . Dunque ciascuna idea risulta collocabile in una precisa posizione del mondo intellegibile , a seconda della sua maggiore o minore universalità e a seconda della forma più o meno complessa dei rapporti che essa intrattiene con le altre idee ( che stanno al di sopra o al di sotto di essa ) . Questa trama di rapporti , che , per le ragioni cui sopra abbiamo accennato , può essere numericamente espressa . Tale dottrina ( che ha stupito molti interpreti ) porta sul piano metafisico , esprimendola al più alto livello speculativo , una concezione dell' arte dei Greci quale si manifestava soprattutto nell' architettura e nella scultura , L' occhio plastico del Greco non vedeva nella Forma e nella Figura qualcosa di ultimativo . Al di là di esse vedeva , appunto , il numero e il rapporto numerico . In particolare , il " canone " , che regolava l' architettura e la scultura esprimeva una " regola di perfezione " essenziale , che gli Elleni indicavano in una proporzione perfetta traducibile appunto in numeri in maniera esatta . Dunque , la forma o idea visibile realizzabile nelle arti plastiche per i Greci era riducibile al principio della proporzione numerica e al numero . Si trasporti questa concezione sul piano metafisico raggiunto da Platone , e si traggano le debite conclusioni . Le idee che esprimono le Forme intellegibili ( le essenze ) delle cose , non sono la ragione ultimativa , ma suppongono un alcunchè di ulteriore , che consiste , appunto , nei Numeri e nei rapporti numerici , e quindi , in senso ultimativo , i Principi supremi da cui derivano i numeri medesimi e gli stessi rapporti numerici . I Numeri Ideali , come già accennato , sono ben diversi dai numeri matematici . La tradizione indiretta ci informa che gli enti matematici per Platone sono " intermedi " fra il mondo intellegibile e quello sensibile , ossia stanno ontologicamente a mezzo fra il primo e il secondo , con alcuni caratteri che li connettono invece ai caratteri del secondo . Aristotele ci riferisce : " Platone afferma che , accanto ai sensibili e alle Forme ( idee ) , esistono enti matematici intermedi fra gli uni e le altre , i quali differiscono dai sensibili , perchè immobili ed eterni , e differiscono dalle Forme , perchè ve ne sono molti simili , mentre ciascuna Forma é solamente una e individua " . Platone ha introdotto questi " enti matematici intermedi " per i seguenti motivi : i numeri su cui opera l' aritmetica , come anche le grandezze su cui opera la geometria , non sono realtà sensibili , ma intellegibili . Però , tali realtà intellegibili non possono essere Numeri Ideali nè Figure geometriche ideali perchè le operazioni aritmetiche implicano l' esistenza di molti numeri uguali ( pensiamo ad esempio ad un' equazione dove , per dire , il numero 6 può comparire diverse volte ) e le dimostrazioni e le operazioni geometriche implicano molte figure uguali e molte figure che sono una variazione della medesima essenza ( pensiamo a molti triangoli uguali e molte figure che sono variazioni della medesima essenza , ossia triangoli di vario tipo : equilatero , isoscele ... ) . Invece , ciascuno dei Numeri Ideali ( così come ciascuna forma ideale ) é unico , e inoltre i Numeri Ideali non sono operabili . Se si tiene presente questo , risultano chiare le conclusione platoniche sull' esistenza di enti matematici aventi caratteri " intermedi " fra il mondo intellegibile e il mondo sensibile . In quanto sono immobili ed eterni , gli enti matematici condividono i caratteri delle realtà intellegibili , e cioè delle idee ; invece , in quanto ve ne sono molti della medesima specie , sono analoghi ai sensibili . Il fondamento teoretico di questa dottrina sta nella convinzione radicatissima in Platone , di genesi eleatica , della perfetta corrispondenza fra il conoscere e l' essere , per cui ad un livello di conoscenza di un determinato tipo deve necessariamente far riscontro un corrispettivo livello di essere . Di conseguenza , alla conoscenza matematica , che é di livello superiopre alla conoscenza sensibile , ma inferiore alla conoscenza filosofica , deve corrispondere un tipo di realtà che ha le corrispettive connotazioni ontologiche . Questa dottrina non scritta ( e solo allusa nei dialoghi ) é essenziale per comprendere l' impianto ontologico e gnoseologico della Repubblica , e quindi costituisce un tassello assai importante del sistema platonico . Inoltre , spiega assai bene l' importanza pedagogica che Platone attribuiva alle matematiche , che nell' Accademia dovevano preparare i futuri dialettici e politici nello Stato ideale . Si noti che , in questa complessa prospettiva teoretica , Platone non fa dipendere la sua metafisica e la sua dialettica dalla matematica e dai suoi metodi , ma , al contrario , " fa dipendere la matematica dai principi metafisici in modo strutturale " . Appunto in quanto deriva dai principi metafisici con tutto ciò che da questo consegue , la matematica ne può presentare un' immagine , che aiuta a risalire al modello originario e quindi a preparare la mente alla dialettica che di essi tratta . Per questo motivo , la scritta che la tradizione dice stata apposta all' ingresso dell' Accademia " Non entri chi non é geometra " é davvero emblematica .