DISSERTAZIONE SUI NUMERI
Una volta tanto ho intenzione di mettere in disparte le classiche operazioni numeriche per lasciar spazio ad un' indagine che sta a monte delle operazioni stesse : i numeri , quelle entità con le quali facciamo addizioni , sottrazioni , moltiplicazioni , divisioni e quant'altro , esistono ? E se esistono, che cosa sono ? Non é certo un problema da poco ! Già 2400 anni fa , circa , Platone si era posto il problema : che cosa esiste ? Ecco allora che aveva tirato in ballo il concetto di dunamis (potenza) secondo il quale esisterebbe tutto ciò che può ( dunatai ) compiere e subire un'azione . Esisteranno quindi tutti gli enti materiali che ci circondano , é evidente , perchè possono allo stesso tempo compiere e subire azioni : il cane corre e può essere accarezzato , ad esempio , quindi esiste . Ma con questa definizione si é costretti ad ammettere anche l'esistenza di enti immateriali : le idee , ossia quelli che noi definiamo oggetti del pensiero , dovranno avere una loro esistenza proprio perchè subiscono l'azione di essere pensati ; l'idea stessa di giustizia agisce anche nel senso che le cose giuste partecipano di essa : se una cosa é giusta vuol dire che ci sarà un'idea di giustizia . Di conseguenza , e qui arriviamo al dunque , in qualche misura esisteranno anche i numeri come oggetto del nostro pensiero . Secondo l'illustre filosofo Aristotele i numeri esistono , certo , ma come pure e semplici astrazioni : egli effettua un'importantissima distinzione tra sostanza ( ciò che per esistere non ha bisogno di null'altro all'infuori di sè ) e accidente ( ciò che per esistere ha bisogno di una sostanza cui riferirsi ) . Così la terra o il libro saranno sostanze proprio perchè dotati di esistenza autonoma , il blu o il marrone saranno accidenti perchè potranno esistere solo se abbinati ad una sostanza : il blu e il marrone di per sè , spiega Aristotele , non esistono , bensì esistono libri blu e terra marrone . Gli accidenti si trovano dunque ad avere un'esistenza che potremmo definire "parassitaria" , ossia totalmente legata ad una sostanza cui riferirsi . Ritornando al discorso dei numeri , Aristotele non esita a collocarli tra gli accidenti : il 2 o il 3 , di per sè , non esistono , bensì esistono gruppi di due o tre sostanze : tre libri , due penne , due case ... Non é sbagliato dire che , in un certo senso , il numero é l'ultima cosa che permane man mano che si tolgono a due o più oggetti le differenze : i due libri hanno colori diversi , tolgo il colore ; hanno scritte diverse , tolgo le scritte ; hanno dimensioni diverse , tolgo le dimensioni ; alla fine , quando li avrò spogliati di ogni cosa , resterà solo il numero : sono due . Così ragione Aristotele e così siamo portati a ragionare anche noi : non ci sogneremmo mai di sostenere che il 2 o il 3 esistano di per sè senza sostanze cui riferirsi . Tuttavia ci fu Platone , che tra l'altro di matematica se ne intendeva molto più di Aristotele , a sostenere l'esistenza dei numeri sganciata dalle sostanze : il 2 o il 3 per Platone esistono non solo nelle cose materiali (sostanze) che ne partecipano (2 case , 3 gatti ...) , ma addirittura come enti a se stanti:se ho un gruppo di 6 libri significa che esso partecipa all' idea del 6 (il numero ideale 6) . Questa strana concezione dei numeri deriva dall'impianto metafisico stesso di Platone : per lui al quesito "che cos'è x ?"(dove x sta per bello,giusto...) la risposta a questa domanda consiste nel rintracciare l'idea in questione(per esempio l'idea di bellezza,di giustizia...).L'idea è dunque un "universale":ciò significa che i molteplici oggetti sensibili,dei quali l'idea si predica,dicendoli per esempio belli o giusti,sono casi o esempi particolari rispetto all'idea:una bella persona o una bella pentola sono casi particolari di bellezza,non sono la bellezza.Mentre gli oggetti sensibili sono caratterizzati dal divenire e dal mutamento,soltanto delle idee si può propriamente dire che sono stabilmente se stesse;proprio questa differenza di livelli ontologici,ossia di consistenza di essere,qualifica le idee come modelli rispetto agli oggetti sensibili corrispondenti.L'attività di un artigiano,per esempio di un costruttore di letti,è descrivibile da parte di Platone come un insieme di operazioni che mirano a foggiare un determinato materiale (in questo caso il legno) secondo il modello dell' idea del letto,alla quale egli si riferisce costantemente con il suo pensiero.L'idea è quindi dotata di esistenza autonoma,nè dipende per la sua esistenza dal fatto di poter essere pensata;essa è ciò di cui gli oggetti sensibili partecipano.La partecipazione all'idea,per esempio,di bellezza rende un determinato oggetto sensibile bello. Le idee hanno quindi una quadrupliceplice valenza : 1)ontologica : i cavalli esistono perchè copiano l'idea di bellezza ; 2) gnoseologica:riconosco che quello é un cavallo perchè nella mia mente ho l'idea di cavallo ; 3) assiologica : ogni idea é il bene cui tendere,lo scopo a cui aspirare ; 4) di unità del molteplice : i cavalli esistenti sono tantissimi e diversissimi tra loro , ma l'idea di cavallo é una sola . Ora anche i numeri sono idee e hanno pertanto le prerogative delle idee : così come quel cavallo é bello perchè partecipa all'idea di bellezza , esso é uno perchè partecipa all'idea di uno ; così come i cavalli materiali sono una miriade ma l'idea di cavallo é una , così anche i 3 scritti sulle lavagne o sui fogli sono una miriade ma l'idea di tre é una sola , da cui tutti gli altri tre dipendono . I numeri sono sì idee come le altre , ma si tratta di idee particolarmente complesse tant'é che Platone non esita a collocarli su un livello superiore :
i numeri ideali , ossia le essenze stesse dei numeri , in quanto tali , non sono sottoponibili ad operazioni aritmetiche . Il loro status metafisico é ben differente da quello aritmetico , appunto perchè non rappresentano semplicemente numeri , ma l' essenza stessa dei numeri . In effetti , non avrebbe senso sommare l' essenza del due all' essenza del tre e così via . I Numeri ideali , quindi , costituiscono i supremi modelli dei numeri matematici . Inoltre , per Platone i numeri ideali sono i primi derivati dai Principi primi , per il motivo che essi rappresentano , in forma originaria e quindi paradigmatica , quella struttura sintetica dell' unità nella molteplicità , che caratterizza anche tutti gli altri piani del reale a tutti gli altri livelli . Inoltre , Aristotele ci riferisce : " Platone afferma che , accanto ai sensibili e alle Forme ( idee ) , esistono enti matematici intermedi fra gli uni e le altre , i quali differiscono dai sensibili , perchè immobili ed eterni , e differiscono dalle Forme , perchè ve ne sono molti simili , mentre ciascuna Forma é solamente una e individua " . Platone ha introdotto questi " enti matematici intermedi " per i seguenti motivi : i numeri su cui opera l' aritmetica , come anche le grandezze su cui opera la geometria , non sono realtà sensibili , ma intellegibili . Però , tali realtà intellegibili non possono essere Numeri Ideali nè Figure geometriche ideali perchè le operazioni aritmetiche implicano l' esistenza di molti numeri uguali ( pensiamo ad esempio ad un' equazione dove , per dire , il numero 6 può comparire diverse volte ) e le dimostrazioni e le operazioni geometriche implicano molte figure uguali e molte figure che sono una variazione della medesima essenza ( pensiamo a molti triangoli uguali e molte figure che sono variazioni della medesima essenza , ossia triangoli di vario tipo : equilatero , isoscele ... ) . Invece , ciascuno dei Numeri Ideali ( così come ciascuna forma ideale ) é unico , e inoltre i Numeri Ideali non sono operabili . Se si tiene presente questo , risultano chiare le conclusione platoniche sull' esistenza di enti matematici aventi caratteri " intermedi " fra il mondo intellegibile e il mondo sensibile . In quanto sono immobili ed eterni , gli enti matematici condividono i caratteri delle realtà intellegibili , e cioè delle idee ; invece , in quanto ve ne sono molti della medesima specie , sono analoghi ai sensibili . Il fondamento teoretico di questa dottrina sta nella convinzione radicatissima in Platone della perfetta corrispondenza fra il conoscere e l' essere , per cui ad un livello di conoscenza di un determinato tipo deve necessariamente far riscontro un corrispettivo livello di essere . Di conseguenza , alla conoscenza matematica , che é di livello superiore alla conoscenza sensibile , ma inferiore alla conoscenza filosofica , deve corrispondere un tipo di realtà che ha le corrispettive connotazioni ontologiche . I numeri ideali sono superiori alle idee stesse in un certo senso perchè ne regolano i rapporti numerici con cui si rapportano con la realtà . Certo oggi a noi la concezione di Platone sembra molto distante e improbabile e preferiamo quella aristotelica , tuttavia sorge un dubbio che rimette i gioco la teoria platonica : e se nessuno contasse più i numeri continuerebbero ad esistere ? Con la definizione aristotelica , infatti , essi esistono solo come processo di astrazione della mente umana e , se vi fosse un improvviso annichilimento della realtà , sembra quasi che non contando più nessuno i numeri debbano sparire , ma é evidentemente ridicolo dire così . 2 + 2 = 4 é vero anche senza che io lo pensi e quindi pare aver ragione Platone : i numeri hanno esistenza autonoma . Nel medioevo , poi , il dibattito sui numeri assumerà una vivace coloritura dovuta soprattutto alle credenze religiose : che 2 + 2 = 4 lo decide Dio o anch' Egli deve sottostare a questa verità ? In realtà tutto dipende dalla concezione stessa di Dio a seconda delle posizioni aristoteliche o platoniche : come accennavamo prima , per Platone , accanto al nostro imperfetto mondo sensibile ve ne é uno immutabile ed eterno , di cui il nostro é solo una pallida copia : si tratta del mondo intellegibile delle idee , ossia degli archetipi delle cose che ci circondano . Ora per spiegare come le idee si calassero nelle cose materiali ( ossia come dall'idea di cavallo derivasse il cavallo in carne ed ossa ) Platone era ricorso alla figura del Demiurgo , ossia di un divino artigiano che , attenendosi alle idee , plasmava la materia in funzione di esse dando così vita agli enti materiali e non . Ora il Cristianesimo in buona parte mutua la sua concezione di Dio dal Demiurgo platonico , pur apportando delle notevoli differenze : Dio non si limita a plasmare materia già esistente , ma la crea nel vero senso della parola . Ora , é evidente , i seguaci medioevali di Platone non possono far altro che sostenere , sulla scia del padre delle idee , che Dio , pur essendo onnipotente e creatore , deve per forza attenersi all'apparato ideale che gli sta a monte : la sua onnipotenza si manifesterà nel decidere di creare l'uomo , ma questo creare sarà semplicemente un calare nella materia l'idea preesistente di uomo , cui Dio stesso deve sottostare . A pensarla così saranno i Francescani , un ordine religioso mistico e interessato più che altro ad adorare Dio ; ma contrapposti a loro vi sono i domenicani , che abbracciano non già le posizioni platoniche , ma quelle aristoteliche : per Aristotele non vi é un'idea uomo che sta a monte dell'uomo stesso : la forma uomo ( o idea uomo , se vogliamo dirla con Platone ) esiste incollata all'uomo stesso , é presente in tutti gli uomini e durerà fin tanto che esisteranno uomini : essa non é ante rem , come credeva Platone , ma in re . Non vi é un mondo all'infuori del nostro , nè vi é quel complesso apparato di idee : di conseguenza i domenicani potranno ancora più dei francescani esaltare l'onnipotenza di Dio , il quale non é più costretto ad attenersi a delle idee per creare : la sua onnipotenza si manifesta nell'atto di creare l'uomo in carne ed ossa ma anche nell'atto di crearne l'idea . E questo implica una radicale divergenza nella concezione degli enti matematici : per i francescani 2 + 2 = 4 indipendentemente da Dio : Dio deve sottostare a questa verità e non può cambiarla , anzi deve attenersi ad essa nel creare il mondo . Per i domenicani , invece , che 2 + 2 = 4 l'ha deciso Dio di sua spontanea iniziativa perchè , in assenza delle idee cui é costretto ad attenersi , Dio può tutto : ha deciso che 2 + 2 = 4 , ma avrebbe anche potuto decidere che 2 + 2 = 5 ! Sembra però che ci sia una contraddizione di fondo in questo ragionamento "matematico" : come si spiegano le leggi fisiche , alle quali pare proprio che Dio sia subordinato ? A fornire una risposta é Guglielmo da Ockham : le leggi fisiche ci sono , é evidente , ed é Dio che , nella sua illimitata onnipotenza , le ha poste con la sua potenza ordinata , ma questo non toglie che egli , proprio perchè onnipotente , possa stravolgerle con la sua potenza assoluta : ha deciso che gli oggetti lasciati cadano verso il basso , ma potrebbe benissimo cambiare le carte in gioco (proprio perchè non ci sono le idee cui deve attenersi) facendo cadere gli oggetti obliquamente . E i miracoli non sono forse la prova di quanto dice Ockham ? E' Dio che stravolge le leggi fisiche ; può allo stesso modo decidere che 2 + 2 = 5 anzichè 4 : le verità matematiche per i domenicani non sono quindi un qualcosa di immutabile e di assolutamente certo perchè Dio potrebbe decidere da un momento all'altro di mutarle ; per i francescani , al contrario , esse sono assolutamente inconfutabili proprio perchè Dio stesso deve attenersi ad esse . Cartesio nel Seicento , il secolo della matematica e dell'imperare della ragione , arriverà a dire che le verità matematiche che l'uomo é riuscito ad acquisire , tramite sforzi immani e secoli di ricerca , egli le conosce alla pari di Dio : in altri termini , secondo Cartesio , che 2 + 2 = 4 lo so io esattamente come lo sa Dio : tutto quel che c'è da sapere nella verità 2 + 2 = 4 lo sappiamo , così come lo sa Dio . Sul piano qualitativo siamo dunque alla pari di Dio ( ciò che sappiamo in ambito matematico lo sappiamo esattamente come lo sa Dio ) , su quello quantitativo siamo nettamente in svantaggio : la quantità di verità matematiche che noi conosciamo é infinitamente minore rispetto a quella conosciuta da Dio : questo vale solo per quel che riguarda la matematica , la forma di pensiero più precisa e rigorosa di cui siamo in possesso . Dunque sia noi sia Dio possiamo conoscere con certezza le verità matematiche e sia noi sia Dio dobbiamo sottostare ad esse , ossia non possiamo fare nulla per cambiarle : da notare come Cartesio sia molto più vicino alle idee francescane che non a quelle domenicane sotto questo profilo e , non é un caso , egli é un platonico . Va poi senz'altro ricordata la celebre ipotesi cartesiana del genio maligno , con la quale il pensatore francese arriva a mettere in discussione perfino le verità matematiche : chi non mi dice di essere stato creato da un genio maligno che impiega tutta la sua onnipotenza per ingannarmi di continuo ? Chi non mi dice di essere stato creato da un genio maligno che mi ha costruito tale da credere e prendere per certo che 2 + 2 = 4 quando in verità 2 + 2 = 5 ? E' interessante questa ipotesi bislacca perchè in un certo senso stravolge il modo di pensare , ci toglie il terreno da sotto i piedi , ci fa crollare addosso il mondo . Tuttavia , basta dimostrare che non siamo stati creati dal genio maligno per rimettere le cose a posto e per far ritornare indiscutibili le verità matematiche e Cartesio lo fa con una certa abilità argomentativa : sono a conoscenza della mia imperfezione perchè dubito perfino delle verità matematiche e ciò che dubita , evidentemente , é imperfetto ; ma per dire che una cosa é imperfetta devo avera nella mia testa l'idea di perfezione (come potrei dire che una cosa é imperfetta se non so cosa é la perfezione ?) ; ma chi me l'ha messa in testa ? Io no , di sicuro , perchè sono imperfetto : deve avermela data qualcosa di perfetto : Dio , che esiste ed é perfetto . Se Dio é perfetto , naturalmente , sarà buono e viene quindi scartata l'ipotesi del genio maligno : posso affermare con sicurezza che 2 + 2 = 4 , con una tale sicurezza che Dio stesso non potrebbe smentirmi . Come tutti sapranno in un'espressione algebrica o anche nel più comune dei calcoli ( 1 + 1 = 2 ) non vi é nulla che non avvenga necessariamente , nel senso che si deve per forza arrivare ad un risultato , non vi é la libertà di scelta : 5 + 4 dà 9 e non potrebbe essere altrimenti . I calcoli numerici , nella loro perfezione , esprimono dunque una necessità e dissipano ogni possibilità . Da questa considerazione muoverà la concezione stessa di Dio del filosofo olandese del Seicento Benedetto Spinoza : Dio , che per il pensatore olandese é l'intero universo in tutte le sue manifestazioni , se é perfetto come vuole la definizione stessa di divinità non può che esprimere una necessità proprio come un calcolo del tipo 2 + 2 = 4 : ciò che avviene in campo divino e quindi (proprio perchè Dio non é altro che l'intero cosmo) tutto ciò che avviene nel mondo , non può che avvenire necessariamente : con Spinoza viene a cadere il libero arbitrio dell'uomo , il quale , facendo parte dell'universo-Dio , é anch'egli manifestazione di Dio . Tutto nel mondo avviene in modo perfetto , e il mondo intero potrebbe essere letto come una grande espressione : non c'é possibilità che 2 + 2 dia 5 come non vi é possibilità che le cose vadano diversamente da come vanno . D'altronde il concetto stesso di libertà implica la possibilità di errore e di impotenza del soggetto , prerogativa che stona notevolmente con le istanze di Dio . Probabilmente a molti la concezione spinoziana sembrerà un pò forzata , quasi a dimostrare un anelito del pensatore a trovare nel mondo una perfezione numerica che in molti casi pare davvero inconcepibile . Tuttavia non ci si deve stupire troppo : dobbiamo tenere a mente che Spinoza vive nel Seicento , il secolo della fisica matematizzata , il secolo in cui si cerca di ricorrere sempre e solo alla matematica ; in quegli stessi anni un altro grande pensatore , Thomas Hobbes , arriva a dire che pensare significa svolgere sottrazioni e addizioni : dire che una penna é blu significa addizionare alla sostanza penna l'attributo blu per ottenere così la penna blu allo stesso modo in cui 2 + 2 mi dà 4 ; viceversa , dire che la penna non é blu significa sottrarre l'attributo blu alla sostanza penna , esattamente come 6 - 2 mi dà 4 . Quella di Spinoza , di Hobbes , di Cartesio e di molti altri filosofi di quegli anni sembra una vera e propria esasperata corsa al numero , dettata dalla consapevolezza che la matematica costituisca il sapere più preciso di cui l'uomo disponga , talmente preciso da essere identico a quello di Dio . Tuttavia a dichiarare guerra all'idea che la matematica sia il sapere più preciso a nostra disposizione sarà il filosofo nichilista dell' Ottocento Federico Nietzsche : Nella Volontà di potenza , all'aforisma n° 628 , egli dice testualmente : E' illusione che qualcosa sia conosciuto quando abbiamo una formula matematica per ciò che é avvenuto : abbiamo solamente designato , descritto : nulla di più ! In realtà con questa altisonante asserzione il folgorante profeta del superuomo ha scoperto l'acqua calda : intendo dire che 200 anni prima di lui il fisico e matematico Galileo Galilei aveva preso atto della medesima cosa : con le formule matematiche e con le leggi fisiche non mi si dice il " cosa " e il " perchè " , ma il " come " ; ossia non si indagano le essenze e le cause delle cose , ma le modalità di funzionamento : pensiamo alle leggi sui gas , dove mi si indicano semplicemente i rapporti tra volume , pressione e temperatura . D'altronde esula dagli obiettivi della materia l'indagine sulle essenze e sulle cause . Con i numeri e quindi con la matematica si investiga in modo rigoroso un mondo di per sè inesistente , puramente ideale , alla pari di quello platonico : nell'enunciazione del principio di inerzia , tanto per fare un esempio , mi si dice che in assenza dell' attrito un oggetto lanciato perdurerebbe nel suo moto all'infinito : ma in quale parte del nostro mondo non vi é attrito ? Allo stesso modo disegnamo e dimostriamo su triangoli rettangoli , ma il triangolo rettangolo esiste solo come costruzione mentale ! Cartesio si accorse di questo limite della matematica , cercando di superarlo integrandola con la filosofia , la quale presenta a sua volta dei limiti : se la matematica investiga in modo rigoroso cose inesistenti , la filosofia investiga cose esistenti in modo non rigoroso . Ecco che Cartesio ebbe il grande merito di congiungere questi due lacunosi mezzi di indagine per dar vita ad un metodo efficace , che indaga le cose esistenti ( come la filosofia ) in modo rigoroso ( come la matematica ) . Questo non vuol dire che si debbano infilare i numeri con la loro perfezione in ogni dimostrazione filosofica , bensì significa investigare ogni cosa con il metodo matematico , perfino il pensiero e Dio . Non bisogna accettare nulla per buono , si deve scomporre ogni problema complesso in tanti problemini semplici per poi , risoltili , riunirli nel problema iniziale e soprattutto bisogna ritornare sui passaggi già fatti per espungere gli eventuali errori . Si deve , in altri termini , unire l'astratto e rigoroso della matematica al concreto e fisico della filosofia : e del resto il piano cartesiano non é altro che un' applicazione di questa idea , l'unire il fisico all' astratto . Nietzsche ha colto bene l'idea che la matematica e i numeri non ci facciano conoscere l'essenza profonda e le cause delle cose , ma sbaglia nel momento in cui per questo motivo sembra disprezzare la matematica e gli enti numerici : lui stesso nella Gaia scienza abbraccia con gioia l'ateismo che , a suo avviso , si impossesserà dell' Europa , salutandolo come un' autentica illuminazione d'aurora , come una liberazione del pensiero e dello scibile umano dalle redini del divino : Ogni rischio dell' uomo della conoscenza é di nuovo permesso ; il mare , il nostro mare , ci sta ancora aperto dinanzi , forse non vi é ancora mai stato un mare così aperto : ebbene , senza l' apporto dei numeri e della matematica , la nave della conoscenza umana non può che naufragare , nonostante l' "apertura" del mare non minacciato da inquietanti presenze divine .